 Του Δημήτρη Δημόπουλου Εικόνα εξώφυλλου: Καλλιτεχνική απεικόνιση της τροχιάς του Voyageur 1 μέσα από το ηλιακό σύστημα. (Πηγή: The Wire, Science) Η έννοια του βαρυτικού πηγαδιού Το βαρυτικό πεδίο της Γης περιγράφεται από τη δύναμη και αντίστοιχα την επιτάχυνση g(r) που δέχεται ένα σώμα σε απόσταση r από το κέντρο της. Προσοχή, για να χρησιμοποιήσουμε σωστά τους νόμους της Μηχανικής, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι όλες τις αποστάσεις πρέπει να τις μετράμε από το κέντρο μάζας των σωμάτων γύρω από τα οποία κινείται το διαστημόπλοιο. Ένα διαστημόπλοιο σε χαμηλή τροχιά 400 km, απέχει από το κέντρο της Γης R+400 km, όπου R είναι η ακτίνα της Γης, ίση με 6378 km. Σε μία απόσταση r από το κέντρο της Γης ισχύει: \(F_r=G Mm/r^2 \) (3.1) H βαρυτική δύναμη \(g_r=G M/r^2 = μ/r^2 \) (3.2) Η βαρυτική επιτάχυνση Επειδή το γινόμενο είναι σταθερό και εύκολα υπολογίσιμο για τη Γη, το αντικαθιστούμε με τον συντελεστή μ που για την Γη ισούται με \(3,98 x 10^5 km^3/sec^2\). Ένα διαστημόπλοιο που προσπαθεί να ξεφύγει από το βαρυτικό πεδίο της Γης, είναι σαν να προσπαθεί να βγει από ένα πηγάδι βαρύτητας. Όσο πιο κοντά στο κέντρο είναι, τόσο πιο απότομη η πλαγιά, όσο απομακρύνεται όμως από τη Γη, γίνεται ολοένα και πιο εύκολο να προχωρήσει λίγο ακόμα. Το συνολικό έργο ή η ενέργεια που θα πρέπει να καταναλώσει για να ξεφύγει εντελώς αν ξεκινήσει από την επιφάνεια της Γης, μπορεί να υπολογιστεί ίσο με: \( W_R=g_o R \) Αν γενικεύσουμε για οποιαδήποτε απόσταση r από το κέντρο της Γης έχουμε: \(W_r= g_r r= (R/r)^2 g_o r= (R/r) g_o R= (R/r) W_R \) (3.6) Τα όρια λοιπόν του βαρυτικού πηγαδιού είναι μία συνάρτηση του είδους \(f(x) =a/x\).  Εικόνα 3-1. Το βαρυτικό πηγάδι της Γης με όρια που αρχικά είναι απότομα και στη συνέχεια γίνονται ολοένα πιο εύκολα όπως η συνάρτηση f(x) = a/x. Ταχύτητα Διαφυγής Χρειαζόμαστε ενέργεια για να διαφύγουμε από το βαρυτικό πεδίο της Γης. Αν θέλουμε να εκτοξεύσουμε ένα σώμα μάζας m, με τι ταχύτητα θα έπρεπε να ξεκινήσει ώστε να έχει την απαιτούμενη ενέργεια για να διαφύγει; \(1/2 (V_{esc})^2= g_r r → V_{esc}= √(2g_r r)= √(2μ/r)\) (3.7) Αν το ίδιο σώμα εκτελεί κυκλική κίνηση γύρω από τη Γη σε απόσταση , με τι ταχύτητα κινείται; \( F_G=F_{Cent} → μm/r^2 = ((V_{Cent})^2 m)/r →V_{Centr}= √(μ/r) \) (3.8) Από την 3.8 καταλαβαίνουμε ότι ένα σώμα σε κυκλική τροχιά έχει ήδη μία ταχύτητα στην οποία πρέπει να προσθέσουμε μία ακόμα ΔV ώστε να μπορέσει να διαφύγει από τη τροχιά του. Αυτό γίνεται ακόμα πιο κατανοητό αν προσπαθούμε να υπολογίσουμε τη ταχύτητα διαφυγής από το ηλιακό βαρυτικό πηγάδι όταν είμαστε στην επιφάνεια κάποιου πλανήτη. Ας θεωρήσουμε ότι βρισκόμαστε στην τροχιά του Ερμή. Η ταχύτητα διαφυγής από τον Ήλιο στην απόσταση του Ερμή, είναι 68 km/sec, μία εξαιρετικά μεγάλη ταχύτητα. Η κυκλική ταχύτητα του Ερμή όμως είναι ήδη 48 km/sec. Άρα χρειαζόμαστε άλλα 20 km/sec. Η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια του Ερμή είναι 3,5 km/s. Άρα συνολικά, η ταχύτητα διαφυγής από το ηλιακό σύστημα αν βρισκόμαστε στην επιφάνεια του Ερμή είναι 23,5 km/s. Η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια της Γης είναι 11,2 km/sec. Δεν έχει σημασία η διεύθυνση κίνησης. Οποιοδήποτε σώμα αν εκτοξευτεί με αυτή τη ταχύτητα, όπου κι αν κατευθυνθεί, θα διαφύγει προς το άπειρο.
Τροχιές και νόμοι Κέπλερ Το «πρόβλημα των δύο σωμάτων» προσπαθεί να επιλύσει την κίνηση ενός σώματος γύρω από ένα σώμα πολύ μεγαλύτερης μάζας. Εμείς θα εξετάσουμε την κίνηση ενός διαστημοπλοίου ή δορυφόρου γύρω από τη Γη.Για να μπορέσουμε να φτιάξουμε απλές μαθηματικές εξισώσεις με τον Νόμο Έλξης του Νεύτωνα, θα θεωρήσουμε ότι ο δορυφόρος έλκεται μόνο από τη Γη. Αυτό προφανώς δεν είναι μία πραγματική ερμηνεία του κόσμου καθώς όλα τα υπόλοιπα ουράνια σώματα στο ηλιακό μας σύστημα επίσης ασκούν βαρυτική έλξη. Στην περιοχή όμως κοντά στη Γη, η βαρύτητα της Γης κυριαρχεί σε τέτοιο βαθμό που θεωρούμε τις υπόλοιπες δυνάμεις αμελητέες. Αργότερα θα προσδιορίσουμε την έκταση αυτή της σφαίρας μέσα στην οποία θεωρούμε ότι οποιοδήποτε σώμα δέχεται μόνο την βαρύτητα της Γης.  1ος Νόμος Κέπλερ Παρατηρώντας τα ουράνια σώματα στις αρχές του 17ου αιώνα, ο Kepler[1] συμπέρανε ότι οι τροχιές ενός μικρού σώματος γύρω από ένα μεγάλο, μπορούν να είναι κύκλος, έλλειψη, παραβολή ή υπερβολή (οι 4 κωνικές τομές). Η κυκλική κι η ελλειπτική κίνηση σημαίνουν ότι το μικρό σώμα είναι παγιδευμένο στο βαρυτικό πεδίο του μεγάλου ενώ η παραβολή κι η υπερβολή υποδηλώνουν σώμα με ενέργεια ικανή να διαφύγει. Σχηματικά μπορούμε να πούμε ότι ένα διαστημόπλοιο αρχικά σε ελλειπτική τροχιά, όσο αποκτά επιπλέον ταχύτητα πυροδοτώντας τις μηχανές του, αποκτά μία τροχιά ολοένα πιο μεγάλη και με μεγαλύτερη εκκεντρότητα (θα δούμε σε λίγο τι σημαίνει αυτό) μέχρι το οριακό σημείο που η ταχύτητα του στη θέση που βρίσκεται, φτάνει στη ταχύτητα διαφυγής. Σε αυτή τη ταχύτητα η τροχιά του πλέον παύει να είναι κλειστή και γίνεται παραβολική. Οποιαδήποτε αύξηση της ταχύτητας πλέον, καθιστά την τροχιά υπερβολική. Το κρίσιμο μέγεθος για τη γεωμετρική περιγραφή των κωνικών τομών είναι η εκκεντρότητα e. Ο κύκλος έχει μηδενική, η έλλειψη έχει 0<e<1, η παραβολή έχει e=1 και η υπερβολή έχει εκκεντρότητα μεγαλύτερη του 1 που φτάνει ως το άπειρο. Η εκκεντρότητα της υπερβολής χαρακτηρίζει το βαθμό "ανοίγματος" της υπερβολικής τροχιάς. Όσο μεγαλύτερη είναι η εκκεντρότητα, τόσο πιο "ευθεία" και απότομη είναι η τροχιά του σώματος, υποδηλώνοντας υψηλότερη σχετική ταχύτητα ως προς το κεντρικό βαρυτικό σώμα (Σχήμα 3-3). [1] Ο Γιοχάνες Κέπλερ (1571-1630) ήταν Γερμανός αστρονόμος, μαθηματικός και φυσικός, μία από τις θεμελιώδεις μορφές της Επιστημονικής Επανάστασης. Είναι κυρίως γνωστός για τους τρεις νόμους της πλανητικής κίνησης, οι οποίοι περιγράφουν με ακρίβεια τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και αποτέλεσαν τη βάση για το έργο του Νεύτωνα.  Σχήμα 3-3. Τα διαφορετικά είδη τροχιών για ένα διαστημόπλοιο που εκτοξεύεται οριζόντια από το όριο της γήινης ατμόσφαιρας. 2ος Νόμος Κέπλερ Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Κέπλερ, η ακτίνα-διάνυσμα που ενώνει ένα μικρό σώμα με το πολύ μεγαλύτερο κεντρικό σώμα (π.χ. έναν πλανήτη με τον Ήλιο ή έναν δορυφόρο με τη Γη) διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους. Η φυσική σημασία αυτού του νόμου είναι ότι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μεταβάλλεται κατά μήκος της ελλειπτικής τροχιάς του: το σώμα κινείται γρηγορότερα όταν πλησιάζει στο περιήλιο (ή περίγειο) και βραδύτερα όταν απομακρύνεται προς το αφήλιο (ή απόγειο). Η διατήρηση της στροφορμής είναι το θεμελιώδες αίτιο αυτής της συμπεριφοράς. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της αρχής παρατηρείται στις τροχιές των κομητών. Οι κομήτες περνούν το μεγαλύτερο μέρος της τροχιάς τους στα απομακρυσμένα, αργά τμήματα των ελλειπτικών ή και υπερβολικών διαδρομών τους, όπου η ηλιακή βαρυτική επίδραση είναι ασθενής. Καθώς όμως πλησιάζουν τον Ήλιο, η βαρυτική έλξη αυξάνεται δραματικά και οι ταχύτητές τους αυξάνονται απότομα, με αποτέλεσμα να διασχίζουν το εσωτερικό Ηλιακό Σύστημα σε ελάχιστα χρονικά διαστήματα, μερικές φορές μέσα σε λίγες ημέρες. Έτσι, η άνιση κατανομή ταχύτητας στην τροχιά ενός σώματος αποτελεί όχι μόνο εμπειρικό γεγονός, αλλά και άμεση συνέπεια των θεμελιωδών νόμων της ουράνιας μηχανικής.  Σχήμα 3-4. Ο 2ος νόμος του Κέπλερ. Και οι 3 επιφάνειες έχουν ίδιο εμβαδό. Ο πλανήτης κοντά στον Ήλιο μετακινήθηκε μεγαλύτερη απόσταση για να καταφέρει στον ίδιο χρόνο t να διαγράψει εμβαδόν Α. 3ος Νόμος Κέπλερ Ο Κέπλερ παρατήρησε ότι όσο πιο μακριά βρίσκεται ένας πλανήτης από τον Ήλιο, τόσο πιο αργά κινείται και τόσο περισσότερος χρόνος χρειάζεται για να ολοκληρώσει μια πλήρη τροχιά γύρω του. Όσο πιο κοντά βρίσκεται, τόσο πιο γρήγορα κινείται! Ο τρίτος νόμος του Κέπλερ λοιπόν εκφράζει τη σχέση μεταξύ περιόδου περιφοράς κι απόστασης από το κεντρικό σώμα. Το τετράγωνο του χρόνου που χρειάζεται ένας πλανήτης για να κάνει μια πλήρη περιστροφή γύρω από τον Ήλιο (η περίοδός του), είναι ανάλογο με τον κύβο της μέσης απόστασής του από τον Ήλιο. Με πιο απλά λόγια: Αν ξέρεις πόσο μακριά είναι ένας πλανήτης από τον Ήλιο, μπορείς να υπολογίσεις πόσο χρόνο κάνει για να ολοκληρώσει μια πλήρη περιφορά γύρω του. Όσο πιο μακριά είναι, τόσο πιο αργά γυρίζει. \( Τ^2∝α^3 \) (3.9) \( Τ=2π√(α^3/μ) \) (3.10) Τ είναι η περίοδος περιφοράς του πλανήτη και α είναι η ακτίνα της τροχιάς του (αν πρόκειται για κυκλική τροχιά) ή ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης στην οποία κινείται. Παράδειγμα 3.1 Η Γη απέχει από τον Ήλιο 1 AU και η περίοδος της είναι 1 έτος. Ο Δίας απέχει 5,2 AU, πόσα γήινα έτη διαρκεί η περίοδος περιφοράς του; Από τη στιγμή που γνωρίζουμε τη σχέση 3.9, μπορούμε πολύ εύκολα να υπολογίσουμε: \( Τ/Τ_Δ =√(α^3/{α_Δ}^3 )→Τ_Δ=11,8 έτη \) Πράγματι, ο Δίας χρειάζεται περίπου 12 χρόνια για να ολοκληρώσει μία τροχιά! Μαθηματικές Σχέσεις κυκλικών κι ελλειπτικών τροχιών Υπάρχουν πολλές μαθηματικές εκφράσεις που χαρακτηρίζουν τις τροχιές διαστημοπλοίων γύρω από πλανήτες. Θα κρατήσουμε τις πιο σημαντικές που θα χρειαστούν για την κατανόηση των παραμέτρων με τις οποίες θα ασχοληθούμε στα επόμενα κεφάλαια και την πρακτική άσκηση μας. Οι σχέσεις για την κυκλική τροχιά είναι στην ουσία μία απλοποίηση των σχέσεων για τις ελλειπτικές τροχιές. Η έλλειψη χαρακτηρίζεται από την εκκεντρότητα της e που μας δείχνει πόσο «συμπιεσμένη» είναι σε σχέση με έναν κύκλο. Ο κύκλος έχει εκκεντρότητα μηδενική. \( e= c/a (3.11) \) Το c είναι η απόσταση μεταξύ του κέντρου της έλλειψης με την εστία της, που είναι κι η θέση που βρίσκεται ο Ήλιος. Στην περίπτωση του κύκλου, ο Ήλιος βρίσκεται στο κέντρο άρα e=0. Το σχήμα 3.5 είναι κατατοπιστικό. Από εδώ και μπρος, αν θέλουμε σε έναν τύπο για την έλλειψη να εξάγουμε τον αντίστοιχο για τον κύκλο, απλά θα μηδενίζουμε το e.
Σε μια ελλειπτική τροχιά, το κοντινότερο σημείο στο κεντρικό βαρυτικό σώμα ονομάζεται περίκεντρο και το μακρινότερο απόκεντρο. Τα συναντήσαμε ήδη και ως περίγειο/απόγειο ή περιήλιο/αφήλιο όταν αφορούν τη Γη και τον Ήλιο. Αυτά τα δύο σημεία είναι εξαιρετικά σημαντικά στον σχεδιασμό των διαστημικών αποστολών. Η απόσταση τους υπολογίζεται από το κέντρο του πλανήτη στις μαθηματικές σχέσεις αλλά στις διαστημικές αποστολές είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε και το «ύψος» τους από την επιφάνεια του πλανήτη. Παράδειγμα 3.2 Η ακτίνα της Γης είναι 6378 km. Το ύψος της ατμόσφαιρας της είναι 100 km. Αν για ένα διαστημόπλοιο υπολογίσουμε ότι το περίγειο του είναι λιγότερο από 6478 km, τότε αυτό σημαίνει ότι θα εισέλθει στην ατμόσφαιρα της Γης! Αν υπολογίσουμε το περίγειο του μικρότερο και από την ακτίνα της Γης (<6378 km) τότε το διαστημόπλοιο κατευθύνεται για την επιφάνεια του πλανήτη μας. Αν η τροχιά αυτή είναι επιθυμητή (θέλουμε να επιστρέψουμε στη Γη) τότε σχεδιάσαμε σωστά. Ειδάλλως θα πρέπει να διορθώσουμε γρήγορα την τροχιά του. Για να αποφύγουμε τέτοια λάθη όταν προσεγγίζουμε έναν πλανήτη με τα προγράμματα προσομοίωσης, μετράμε το περίγειο ως ύψος από την επιφάνεια του. Αν το περίγειο μηδενίζεται, το διαστημόπλοιο συγκρούεται με την επιφάνεια του πλανήτη. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ \( e=c/a=(r_a-r_p)/(r_a+r_p ) \) \( Τ=2π√(α^3/μ) \) \( r_a=a(1+e) \) \( r_p=a(1-e) \) \( a=(r_a+r_p)/2 \) \( V=√(2μ/r-μ/α) \) \( r_a V_a=r_p V_p \) Σε αντιστοιχία με τις γήινες γεωγραφικές συντεταγμένες που όλοι γνωρίζουμε (γεωγραφικό μήκος και πλάτος) οι ουράνιες συντεταγμένες βασίζονται πάλι στο τρόπο που η είναι φτιαγμένη η Γη. Ο ισημερινός της Γης επεκτείνεται στο άπειρο και πλέον κάθε αντικείμενο πάνω από τη Γη έχει ένα «γεωγραφικό πλάτος» που ονομάζεται Απόκλιση κι ένα «γεωγραφικό μήκος» που ονομάζεται Ορθή Αναφορά. Η εκλειπτική είναι το επίπεδο περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο. Σχηματίζει γωνία 23,5 μοιρών με το επίπεδο του ισημερινού της Γης που χρησιμοποιούμε στο γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς. Τα δύο αυτά επίπεδα τέμνονται λοιπόν σε μία ευθεία. Η κατεύθυνση της ευθείας που περνά από το σημείο εαρινής ισημερίας της Γης είναι το 0 της ορθής αναφοράς. Επειδή αυτό το σημείο κινείται αργά (με περίοδο 26.000 χρόνια), έχουμε ως σταθερό σημείο το έτος 2000 όταν γράφουμε τις συντεταγμένες κάποιου ουράνιου σώματος. Στις διαστημικές αποστολές μας ενδιαφέρει ιδιαίτερα η παράμετρος i (inclination) της τροχιάς του διαστημοπλοίου ως προς τον ισημερινό της Γης. Στις επίσημες διαστημικές αποστολές σημαίνει τροχιά στο επίπεδο του ισημερινού αλλά πολλές φορές στον σχεδιασμό αποστολών για ευκολία έχουμε και όταν το διαστημόπλοιο έχει τροχιά συνεπίπεδη με αυτή του στόχου του, κάτι που εξυπηρετεί τους τροχιακούς ελιγμούς. Αν θέλουμε λοιπόν να κινούμαστε στο επίπεδο της τροχιάς ενός πλανήτη στόχου, θα πρέπει να έχουμε inclination=0 στο σύστημα αναφοράς του. Αν η κλίση της τροχιάς μας δεν είναι μηδενική τότε δημιουργούνται δύο σημεία τα οποία η τροχιά μας τέμνει το επίπεδο του συστήματος αναφοράς. Αυτά τα δύο σημεία ονομάζονται Ascending Node (AD) και Descending Node (DN). Η ελληνική μετάφραση είναι Ανερχόμενη και Κατερχόμενη Σύνοδος. Είναι τα δύο σημεία που αν θέλουμε να διορθώσουμε την κλίση της τροχιάς (i) θα πρέπει να πυροδοτήσουμε τις μηχανές! Επειδή το κόστος σε ΔV είναι μικρότερο όταν η ταχύτητα του διαστημοπλοίου είναι χαμηλή (λόγω της εξίσωσης διατήρησης της στροφορμής) διαλέγουμε διόρθωση κλίσης πάντοτε στην πιο απομακρυσμένη Σύνοδο, στην οποία το διαστημόπλοιο έχει και τη μικρότερη επιτρόχια ταχύτητα. Η κατανόηση αυτών των γεωμετρικών και δυναμικών χαρακτηριστικών είναι ζωτικής σημασίας στον σχεδιασμό τροχιακών μεταφορών, παραθύρων εκτόξευσης και ελιγμών σύλληψης. Παραδείγματος χάριν, για να εκτοξευθεί ένα σκάφος προς έναν εξωτερικό πλανήτη, απαιτείται όχι μόνο το σωστό χρονικό παράθυρο αλλά και ακριβής ευθυγράμμιση τροχιάς, ώστε να επιτευχθεί συνάντηση στο ίδιο επίπεδο και σημείο.
Comments are closed.
|
RSS Feed